Ciao ragazzi, bentornati (dopo un po’ troppo tempo, scusate) su #StatisticalFields per #RubricheGalileiane. Nelle puntate precedenti ho iniziato a delineare il collegamento profondo che esiste tra meccanica statistica e teoria quantistica dei campi. Oggi proverò a parlarvi di questa corrispondenza in maniera più astratta, ma spero anche più chiara.Tutto parte dalla constatazione che in entrambe le teorie il formalismo matematico della probabilità riveste un ruolo fondamentale. La meccanica statistica si fonda infatti sul presupposto che sistemi composti da tantissimi enti elementari non possano essere descritti esattamente; al contrario si devono considerare solo i valori medi di alcune grandezze fisicamente rilevanti: l’energia, la pressione, l’entropia… Insomma, le cosiddette osservabili termodinamiche. Con valori medi invece si intende che, quando si effettua una misura su scale del secondo o del minuto, si rileva solo la media temporale delle osservabili, che presentano anche vibrazioni ad altissima frequenza dovute alla dinamica caotica su scala atomica. Per l’ipotesi di Boltzmann, di cui vi parlerò in qualche successiva puntata, questa media temporale può essere sostituita con una nello “spazio delle realizzazioni”. Ovvero, chiedersi quale sia l’entropia di un cubetto di ferro equivale a chiedersi quale sia l’entropia del “cubetto di ferro medio”, descritto da poche caratteristiche macroscopiche. Non ci interessa invece sapere se microscopicamente due cubetti differiscono per qualche impurità qui e lì. Insomma, la probabilità viene introdotta per dare una descrizione “effettiva” della realtà fisica, dovuta in buona dose alla nostra ignoranza.

Passiamo alla meccanica quantistica, o meglio alla sua estensione relativistica: la teoria quantistica dei campi, ovvero la teoria matematica capace di descrivere oggetti quantistici estesi. In ambito quantistico la probabilità riveste un ruolo del tutto diverso: come saprete, non è lecito chiedersi cosa faccia davvero un oggetto, ma solo qual è la probabilità che lo faccia (la sto banalizzando per brevità). Detto in altre parole, la nostra conoscenza è intrinsecamente probabilistica, e non possiamo fare di meglio per come è fatta la Natura.

Dunque, sebbene la probabilità entri in queste due teorie con un diversissimo scopo, il formalismo matematico che sta dietro è praticamente lo stesso. L’unico passo da compiere è rendere il tempo un numero immaginario. 

Cosa vuol dire questa frase criptica? Partiamo dalla famosa osservazione di Feynman, secondo la quale una particella per andare da A a B percorre tutte le strade possibili in contemporanea. Ogni tragitto è pesato da una certa probabilità (una ampiezza di probabilità, per chi sa di cosa parlo); la probabilità totale di andare da A a B è data dalla somma di tutte queste (ampiezze di) probabilità, una per ciascun percorso. Anche in meccanica statistica esiste una somma del genere: una certa grandezza fisica macroscopica, diciamo l’energia termodinamica, assume un valore dato dalla media di tutte le energie possibili, come vi spiegavo prima. Vuole ora il “caso” che le due somme possano essere convertite l’una nell’altra semplicemente introducendo una i (unità immaginaria): bisogna scrivere it al posto di t, dove t è il tempo.

Ma perché funziona questa magia? Ve la motiverò con un esempio. Prendiamo un insieme di tantissime particelle: mentre passa il tempo queste possono muoversi, interagire, creare nuove particelle nelle collisioni o annichilirsi. La probabilità di andare da una configurazione iniziale a una finale è data dalla somma di tutti i possibili cammini intermedi, di tutte le evoluzioni temporali possibili. Questa è come una infinita collezione di film, e se guardassimo fotogrammi presi casualmente vedremmo tante disposizioni delle particelle, una scorrelata dall’altra. Ma la meccanica statistica fa esattamente questo: la media su tutte le disposizioni microscopiche di un sistema composto di tante particelle. L’unica cosa da fare per convertire la somma “quantistica” in quella “statistica” è rimuovere l’ordinamento temporale, e considerare il tempo come un’altra dimensione spaziale qualsiasi. Ovvero, non si devono più ordinare i fotogrammi, ma vanno presi alla rinfusa. 

Esattamente questo è il ruolo della i (unità immaginaria): è un trucchetto per convertire la struttura relativistica del nostro spazio-tempo in una struttura euclidea, tipica dello spazio senza il tempo. Per chi ha visto un po’ di relatività ristretta, il passaggio è il seguente: ds^2 = dt^2 – dx^2 diventa – dt^2 – dx^2, che appunto è una metrica euclidea.

Rotazione di Wick nel piano del tempo

Nella prossima puntata vi parlerò ancora di questa corrispondenza, stabilita a partire dagli anni ’50 dal lavoro di grandi menti come Feynman, Kac, Wick e molti altri. Se avete domande (non ci credo che non ne avete!), commentate pure!